2024年河南专升本高数答案

　　一、单项选择题(每题 2 分，合计 50 分)

　　D，子集个数计算公式为2n(n 为集合元素个数)，集合 {3,4,5} 有 3 个元素，子集个数为23=8。

　　D，由反正弦函数定义域要求−1≤x−1≤1，得0≤x≤2;再由根号下非负得3−x≥0，即x≤3，综合得定义域为 (1,3)。

　　A，常用等价无穷小中，sinx∼x、ex−1∼x、ln(1+x)∼x，而 2x 与 x 是同阶无穷小，非等价。

　　C，x→0+lim​arctanx1​=2π​，x→0−lim​arctanx1​=−2π​，左右极限存在但不相等，是跳跃间断点。

　　C，转化为导数定义形式计算，结果为−3f′(1)=−3。

　　B，f′(x)>0函数单调递增，f′′(x)<0函数图形为凸的。

　　A，求二阶导数y′′=6x，令其为 0 得 x=0，代入原函数得 y=1，故拐点为 (0,1)。

　　C，计算x→∞lim​3x2x2−2​，分子分母同除以x2，极限为31​，水平渐近线为y=31​。

　　B，通过洛必达法则或等价无穷小替换计算该极限，结果为21​。

　　B，根据原函数与不定积分的关系，若 f (x) 是 g (x) 的原函数，则∫g(x)dx=f(x)+C。

　　A，用换元法，令u=1−3x，积分结果为−31​sin(1−3x)+C。

　　D，由变上限积分求导公式得y=(x−1)(x−3)，代入 x=0 得 y=3。

　　C，依据 p 积分和 q 积分的收敛性质，可判断∫1+∞​x21​dx收敛。

　　C，对不定积分化简计算，ABD 结果均可通过不同化简方式得到，C 与正确结果相反。

　　B，函数平均值公式为3−11​∫13​x2dx，计算得21​×326​=313​。

　　C，设过 Oz 轴的平面方程为Ax+By=0，代入点 (3,-2,4) 得 3A - 2B = 0，即 2x + 3y = 0。

　　A，双曲线绕 z 轴旋转，将方程中 y 换成x2+y2，得到对应曲面方程。

　　B，对该二元函数极限化简计算，最终结果为−21​。

　　C，通过对数恒等变换及极限运算，结果为 e。

　　A，用隐函数求导法则，令F(x,y,z)=z2y−xz−1，求偏导后计算得∂x∂z​=2zy−xz​。

　　C，将曲线方程化为参数形式，代入曲线积分计算，结果为 1。

　　C，根据正项级数收敛判别法，∑n=2∞​n(lnn)21​满足收敛条件。

　　D，令t=x+1，转化级数后求收敛区间，再还原得原级数收敛区间为 (-4,2)。

　　B，该微分方程的特征根不是复数根，特解形式设为e−x(C1​cosx+C2​sinx)。

　　A，由微分方程知f′(0)=0，再判断二阶导数符号为正，故在 x=0 处取极小值。

　　二、填空题(每题 2 分，共 30 分)

　　−x21​，根据函数求导公式对f(x)=x1​求导即可。

　　0，构造收敛级数，利用收敛级数必要条件得该极限为 0。

　　1，由函数连续性定义，x→0lim​f(x)=f(0)，计算得 a=1。

　　(1,1) 和 (-1,-1)，求导得切线斜率，结合直线斜率相等，解得点的坐标。

　　21​ex2+C，通过换元法计算不定积分可得结果。

　　2xcos(x2+y2)，对 x 求偏导，将 y 视为常数即可。

　　3;1，由极值条件，导数为 0 且函数值为 2，联立方程解得 a=3，b=1。

　　4π​，计算定积分∫01​1+x21​dx，结果为arctanx​01​=4π​。

　　2，通过分步积分法计算该定积分，结果为 2。

　　5，向量模长公式为32+42​=5。

　　2，两平面垂直则法向量点积为 0，列方程解得 k=2。

　　yexy+2x，对二元函数求偏导，按求导法则计算可得。

　　∫01​dy∫y2y​​f(x,y)dx，先确定积分区域范围，再互换积分次序。

　　23​，先求已知收敛级数的和，再推导目标级数的和。

　　y=(C1​+C2​x)ex，微分方程特征根为二重根 1，按对应形式写出通解。

　　三、判断题(每题 2 分，共 10 分)

　　×，例如数列n单调但发散，单调不是数列收敛的充分条件。

　　×，比如函数f(x)=x3在[−1,1]满足条件，但存在x=0使得f′(x)=0。

　　×，该反常积分计算不满足换元条件，实际积分结果不为 0。

　　√，由定积分保序性，区间内被积函数非负，积分结果非负。

　　√，函数可微一定连续，连续不一定可微，可微是连续的充分条件。

　　四、计算题(每题 5 分，共 40 分)

　　该极限通过等价无穷小替换或洛必达法则计算，最终结果为21​。

　　先两边取自然对数得lny=xlnx，再两边求导，最终得y′=xx(lnx+1)。

　　化简被积函数后分步积分，结果为tanx−cotx+C。

　　利用奇偶函数在对称区间的积分性质，计算得结果为2π​。

　　令u=x2+y2，则z=f(u)，利用复合函数求导法则，得dz=x2+y2​xf′​dx+x2+y2​yf′​dy。

　　转化为极坐标积分，积分区域为1≤r≤2，0≤θ≤2π，计算得结果为3π。

　　利用已知1−x1​的幂级数展开式，替换后推导，收敛区间为(−1,1)，展开式为∑n=0∞​x2n。

　　化为一阶线性非齐次微分方程形式，用常数变易法，通解为y=C1​e−x+C2​e−2x+101​e−x(cosx−3sinx)。

　　五、应用题(每题 7 分，合计 14 分)

　　设长、宽为 x、y，高为xyV​，造价函数L=axy+2b(x+y)⋅xyV​，求偏导并令其为 0，得长、宽均为3a2bV​​，高为34b2aV​​时造价最低(a 为底面单价，b 为侧面单价)。

　　(1)平面图形面积通过定积分∫01​(x−x2)dx计算，结果为61​;(2)绕 y 轴旋转体体积用壳层法或圆盘法计算，结果为10π​。